De quoi parle-t-on quand on parle du rang d'un élément d'un
ensemble ? Voilà a priori une question de définition mathématique pour
les personnes travaillant sur les ensembles ordonnés. Problème : j'ai trouvé deux définitions
du rang d'un ensemble ordonné. Pis ! Ce terme est utilisé avec encore d'autres
définitions quand on change de domaine, par exemple dans les algorithmes
génétiques multiobjectifs.
Caspard, Leclerc et Monjardet [1] définissent le rang de la manière suivante
: y est le successeur de x implique que rang(x) = rang(y) + 1. Dans [2],
Schröder définit le rang récursivement en attribuant le rang 0 aux éléments
minimaux, puis en attribuant un rang de n pour les éléments minimaux de
l'ensemble privé des éléments de rang < n. Le rang de l'élément x est alors
le cardinal de la chaîne maximale ayant x pour maximum. Cette définition du
rang de x dans [2] correspond à la définition de la
hauteur de x dans [1].
Goldberg, dans [3] suggère l'utilisation d'un rang pour
comparer les individus d'un algorithme génétique. Ce rang est le même que celui
défini dans [1] à ceci près qu'il commence à 1 et non à 0. Ce rang sera utilisé
par Srinivas et Deb pour le fameux NSGA [4]. Précédemment, Fonseca et Fleming
proposèrent un autre rang que celui de Goldberg pour l'algorithme MOGA [5]. Le
rang de l'élément x de Fonseca et Fleming correspond en fait au cardinal de
l'idéal de x (le nombre de minorants de x).
Faire commencer le rang à 1 ou a 0 n'a pas grande importance et est une
affaire de convention.
La définition donnée par Caspard, Leclerc et Monjardet est plus communément
appelée graduation en théorie des ordres, le terme de
rang étant autrefois utilisé par la communauté francophone. La
définition utilisée par Bernd S. W. Schröder est la plus communément admise et
viendrait de la définition du rang dans un graphe orienté. En résumé la seconde
définition est cohérente avec la théorie des graphes et plus largement
répandue, tandis que la deuxième peut prêter à confusion. Pour cette dernière
on lui préférera le terme de graduation qui n'est pas ambigu.
Références :
- [1] Nathalie Caspard, Bruno Leclerc, and Bernard Monjardet. Ensembles
ordonnés finis : concepts, résultats et usages, volume 60 of Mathématiques
& Applications. Springer, 2007.
- [2] Bernd S. W. Schröder. Ordered Sets : An introduction.
Birkhäuser, December 2002.
- [3] David E. Goldberg. Genetic Algorithms in Search, Optimization and
Machine Learning. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1989.
- [4] N. Srinivas and Kalyanmoy Deb. Multiobjective optimization using
nondominated sorting in genetic algorithm. Evolutionary Computation, 2(3)
:221– 248, 1994.
- [5] Carlos M. Fonseca and Peter J. Fleming. Genetic algorithms for
multiobjective optimization : Formulationdiscussion and generalization. In
Proceedings of the 5th International Conference on Genetic Algorithms, pages
416–423, San Francisco, CA, USA, 1993. Morgan Kaufmann Publishers Inc.